Titles and abstracts

T. Dreyfus - Differential transcendence of solutions of difference equations

A function is said to be differentially algebraic if it satisfies a non trivial algebraic differential equation. It is said to be differentially transcendent otherwise. Example of differentially transcendent functions are known, for instance, the Gamma function, or the generating series of automatic sequences. All these functions have in common to satisfy a linear functional equation. In this framework, the difference Galois theory provides tools to prove the differential transcendence of the functions. This strategy has given many recent papers presenting results that get more and more general. In this talk we are going to present a new result for which the hypothesizes are very minimal. This is a joint work with B. Adamczewki and C. Hardouin.

S. Franceschi - Méthode des invariants de Tutte et mouvement brownien réfléchi dans des cônes.

Dans les années 1970, William Tutte développa une approche algébrique, basée sur des « invariants », pour résoudre une équation fonctionnelle qui apparait dans le dénombrement de triangulations colorées. La transformée de Laplace de la distribution stationnaire du mouvement brownien réfléchi dans des cônes satisfait une équation similaire. Pour être applicable, cette méthode requiert l’existence de deux fonctions appelées respectivement invariant et fonction de découplage. Tous les modèles ont des invariants mais on démontre que l’existence de fonctions de découplage équivaut à une condition géométrique simple sur les angles de réflexion. Pour les modèles qui ont une fonction de découplage, on obtient une expression explicite sans intégrale de la transformée de Laplace en fonction des invariants. En particulier, on obtient à nouveau une formule pour la transformée de Laplace de plusieurs cas bien connus, comme la skew symétrie, les réflexions orthogonales ou le résultat de Dieker et Moriarty qui caractérise les densités stationnaires qui s’écrivent sous la forme d’une somme d’exponentielles. Cette méthode permet de plus de caractériser la nature algébrique de la transformée de Laplace en fonction des modèles. Cet exposé est issu d’un travail en collaboration avec M. Bousquet-Mélou, A. Elvey Price, C. Hardouin et K. Raschel.

P. Lairez - TBA

M. Mishna - On the complexity of the cogrowth sequence

Given a finitely generated group with generating set S, we study the cogrowth sequence, which is the number of words of length n over the
alphabet S that are equal to one. This is related to the probability of return for walks in a Cayley graph with steps from S.
This talk will survey the connections between the structure of the group, and properties of the cogrowth sequence via the nature of its generating function. We will then show that the
cogrowth sequence is not P-recursive when G is an amenable group of superpolynomial growth, answering a question of Garrabant and Pak. This talk will spend some time on the proof, which uses the behaviour of G-series near their singularities.

In addition, we compute the exponential growth of the cogrowth sequence for certain infinite families of free products of finite groups and freegroups, and prove that a gap theorem holds: if S is a finite symmetric generating set for a group G and if a(n) denotes the number of words of length n over the alphabet S that are equal to 1, then limsup_n
a(n)^(1/n) is either less than or equal to 2, or greater than or equal to 2 sqrt(2). Work in collaboration with Jason Bell.

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